TEMA ESPECIAL: METODOLOGÍA DIDÁCTICA

“¿Qué falla al enseñar Matemáticas y cómo podemos solucionarlo?”

Hace unos días en la sección de economía del “El país” se podía leer el siguiente titular: “Los alumnos que huían de las matemáticas”. El artículo explicaba cómo el exceso de cálculo y de memorización y la falta de conexión con los problemas cotidianos provoca fracaso en esta materia y genera alumnos frustrados y poco motivados por la asignatura.

¿Es verdad que algo falla en nuestras aulas? Si nos fiamos de lo que dice PISA (Programme for International Student Assessment) ya en 2012 advertía: “El rendimiento medio de los alumnos españoles en resolución de problemas es de 477 puntos, 23 puntos por debajo de la media de la OCDE (500 puntos). España ocupa el puesto 29 entre los 44 países que han realizado esta prueba”. A lo que el decano de la Facultad de Ciencias Sociales y de la Educación de la Universidad Camilo José Cela, José Antonio Fernández Bravo contesta: “no hace falta consultar el informe PISA para darse cuenta de que nuestros alumnos no son los mejores en lo que respecta a las matemáticas. Basta con pasarse por un colegio cualquiera y ver cómo se está enseñando esta materia fundamental para ver que algo está fallando”.



Bien, sabemos que las cosas no funcionan todo lo bien que debieran, pero ¿qué se podría hacer?

El sistema educativo japonés puso en marcha una iniciativa en los años 70 que aún se mantiene: el open-end (problemas abiertos). Esta metodología utiliza problemas que no tienen una única respuesta, ni una única forma de encontrar la respuesta, con lo que el error, al igual que en el constructivismo, no es una “bestia negra” que combatir sino una oportunidad para aprender.  Se trata de que los estudiantes, a partir de un problema propuesto, discutan los resultados y planteen nuevos problemas utilizando, normalmente, la analogía y la generalización.

Holanda comenzó a desarrollar en los años 60 la llamada Educación Matemática Realista (RME), que concibe las matemáticas como actividad creativa, y en donde los estudiantes aprenden matemáticas cuando desarrollan formas efectivas de resolver problemas.

En Reino Unido la organización Computer Based Math tiene como objetivo rediseñar el programa académico de la asignatura de matemáticas y exportarlo a todo el mundo, Buscan construir un sistema basado en el uso del ordenador.  “Las matemáticas de la escuela están muy desconectadas de las matemáticas que sirven para solucionar problemas en el mundo real” y añade “una vez que el estudiante tiene las nociones básicas de cálculo, no tiene sentido que dedique tantas horas a resolver divisiones de grandes números”. Es decir, viene a decir algo así como: para el cálculo ya están los ordenadores, los alumnos deben dedicarse a aprender a identificar qué métodos matemáticos sirven para solucionar los problemas de la vida real.

En cuanto a España, desde 2010 existen once institutos Geogebra, en donde  los alumnos manipulan objetos y resuelven problemas a través del ordenador. Por ejemplo, si se les pide a los alumnos que hallen la posición del circuncentro de un triángulo -el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices-, el programa del ordenador les permite mover el triángulo y observar cómo se traslada ese punto. El alumno se enfrenta a un problema que tiene una traducción visual antes que numérica, más real y menos abstracto.

En este mismo sentido, Mª Carmen Chamorro propone otra forma de enseñar geometría y defiende el uso  de una didáctica de las matemáticas más manipulativa (para las manos) y menos abstracta (para la cabeza). Esta profesora explica cómo “los niños modelizan el espacio mediante la manipulación de formas geométricas” y propone la manera de proceder en la escuela primaria “debe proporcionar un conocimiento familiar del espacio (…) No se trata de realizar un trabajo en el que prime la deducción sino que por el contrario debe basarse en la intuición y la experiencia de los alumnos enfrentados a resolución de situaciones espacialmente diseñadas y al trabajo con materiales”.

Entonces, ¿la solución a la enseñanza de las matemáticas pasa por un cambio en la metodología y por el empleo de nuevas herramientas (ordenadores y softwares)? Para Daniel González de la Vega, ingeniero industrial y creador de un software de inteligencia artificial que analiza la forma en la que un niño resuelve problemas, no. González Vega es muy crítico con el sistema educativo español y especialmente con la formación de los profesores: “por norma general, los estudiantes de Magisterio no suelen ser los más brillantes. Muchas veces, ellos mismos fracasaron en matemáticas durante su etapa escolar y por eso les resulta más fácil recurrir a la fórmula del libro de texto”.

Por su parte, Manuela Jimeno Pérez (“Al otro lado de las fronteras de las matemáticas escolares: Problemas y dificultades en el aprendizaje matemático de los niños y niñas de tercer ciclo de Primaria”) también incide en la necesaria formación del profesorado pero no sólo a nivel matemático sino también psicológico-cognitivo. Así, menciona la corriente de la Instrucción Guiada Cognitivamente (CGI), “programa dirigido a los profesores, con la convicción de que, si los profesores tuvieran un conocimiento basado en la investigación sobre el pensamiento infantil en general, tendrían mayor capacidad para centrarse en cada niño. Este conocimiento permitiría al profesor evaluar con precisión lo que sabe cada alumno, lo que le permitiría tomar decisiones sobre la enseñanza basadas en el pensamiento matemático de cada alumno, en vez de basarse en ciertas expectativas respecto a la actuación del niño de acuerdo a su pertenencia a un determinado grupo social, racial o étnico o por su género".
Problemas reales, ordenadores y softwares especializados, una metodología más manipulativa y menos abstracta, profesores bien formados, niños motivados por aprender…ingredientes que mezclados podrían resolver el problema de la enseñanza de las matemáticas. Como futuros profesores no podremos quedarnos cruzados ante el gran reto que se nos presenta. De ello depende que el próximo artículo publicado en prensa sea bien distinto: “Los alumnos que amaban las matemáticas”.

Nota: aconsejo la visita de la siguiente dirección web (Didáctica e investigación sobre metodología matemática):

http://www.didactmaticprimaria.com/p/bibiotecadidacticapdf.html

BIBLIOGRAFIA Y DIRECCIONES WEB:
− CHAMORRO, Mª del Carmen: “Matemáticas para la cabeza y las manos: la enseñanza de la geometría en la educación primaria”. Dpto. de Didáctica de las Matemáticas de la UCM.
− JIMENO PÉREZ, Manuela: “Al otro lado de las fronteras de las matemáticas escolares: Problemas y dificultades en el aprendizaje matemático de los niños y niñas de tercer ciclo de Primaria“). Tesis doctoral. Departamento de Didáctica y Organización escolar de la Facultad de Educación de la Universidad de Málaga, 2002.
− http://www.abc.es/sociedad/20140401/abci-informe-pisa-resolucion-problemas-201404011110.html
− http://economia.elpais.com/economia/2016/04/24/actualidad/1461527206_970734.html
− http://www.elconfidencial.com/alma-corazon-vida/2015-01-08/el-gran-error-que-cometemos-al-ensenar-matematicas-y-8-ideas-para-mejorar-su-aprendizaje_599881/

GEOMETRÍA Y MEDIDA

Dentro del currículo de matemáticas para primaria no podemos olvidar el bloque dedicado a la MEDIDA. Dependiendo del curso, los contenidos que se trabajarán serán diferentes. Veamos en detalle a qué nos referimos:



Comprobamos cómo en 6º de primaria el concepto de medida se relaciona con el de geometría: medidas de longitudes, superficies, volúmenes, etc. Por ello, me parece útil proponer a los alumnos, en este nivel, situaciones donde tengan que aplicar la medida a la geometría. Veamos algunos ejemplos:


A. PROBLEMAS SOBRE ESCALAS:

1. En un mapa a escala 1 :50 000 la distancia entre dos pueblos, P y Q, es
11 cm. ¿Cuál es la distancia real entre P y Q? La distancia real entre otros dos pueblos, M y N, es 18 km. ¿A qué distancia estarán en el mapa?

− Distancia real entre P y Q: 11 · 50 000 cm = 550 000 = 5,5 km
− Distancia en el mapa entre M y N: (18 km = 1 800 000 cm) 1 800 000 : 50 000 = 36 cm

2. Una maqueta de una avioneta hecha a escala 1:50 tiene las siguientes medidas: largo: 32 cm, ancho: 24 cm, alto: 8 cm
Halla las dimensiones reales del aparato.

Largo → 32 · 50 = 1 600 cm = 16 m
Ancho → 24 · 50 = 1 200 cm = 12 m
 Alto → 8 · 50 = 400 cm = 4 m

B. APLICACIONES TEOREMA DE PITÁGORAS



C. ÁREAS Y PERÍMETROS USANDO EL TEOREMA DE PITÁGORAS



D. SEMEJANZA ENTRE TRIÁNGULOS Y SUS APLICACIONES

GEOMETRÍA “Aprendemos geometría”

La geometría es uno de los grandes bloques que se trabajan en primaria. En la didáctica de la misma ha tenido una fuerte influencia el trabajo del matrimonio van Hiele, que establecieron  cinco niveles jerárquicos para para describir la comprensión y el dominio de las nociones y habilidades espaciales ("los niveles de van Hiele”, 1959). En lo que ellos llamaron el nivel 0 (Visualización), los objetos de pensamiento son formas y se conciben según su apariencia, pero aún no se asocian a las formas propiedades. Digamos que los niños primero "ven" y luego le ponen nombre a lo que ven.

En esta primera fase del aprendizaje de la geometría y dentro de las múltiples actividades que se pueden plantear en un aula de primaria, me gustaría destacar en los juegos de psicomotricidad: movernos por el espacio siguiendo el recorrido de diversos tipos de líneas (paralelas, secantes, rectas, curvas, etc.). Las líneas pueden ser dibujadas en un primer momento por el profesor, pero más tarde se puede dar la opción a los alumnos para que diseñen su propio circuito. Es importante tener en cuenta que los niños aún no poseen el vocabulario propio de la materia lo que no impide que puedan jugar con diferentes formas geométricas y familiarizarse con ellas.

A continuación, los alumnos pasarían al nivel 1 (Análisis) donde los objetos de pensamiento son clases de formas y los productos de pensamiento son las propiedades de las formas. De ahí, al nivel 2 (Deducción informal):  los objetos del pensamiento son las propiedades de las formas y los productos de pensamiento son relaciones entre propiedades. Sería en este nivel donde se concentran la mayoría de las actividades que tradicionalmente se han propuesto a los alumnos sobre geometría. Como también vemos en ellos su utilidad,
a continuación se proponen problemas una serie de problemas relacionados con la geometría, destinados a alumnos de 6º de primaria. Se proponen apuntes que ayuden a resolverlos:


1) Dibuja 

2) Escribe el nombre de estos ángulos :

3) Escribe el nombre de cada polígono y halla su perímetro :

POTENCIAS: “Una de potencias”

Potencias son los productos que tienen todos los factores iguales. ¿ Para qué sirven las potencias ? podrían preguntarnos nuestros alumnos. Pues para escribir de un modo abreviado un producto de factores iguales. Así :

4x4x4 x4x4 también puede escribirse de forma abreviada como 4⁵

Esta potencia consta de dos elementos : la base y el exponente

Una forma interesante de que nuestros visualicen las potencias y lo que representan, sobre todo en lo que se refiere a aquellas de exponente 2 (cuadrado), es trabajar con áreas de cuadrados. Veamos varios ejemplos :

Por otro lado, para entender qué significa elevado al “cuadrado” y qué significa elevado al “cubo” también resulta aconsejable visualizar estas potencias con figuras geométricas:

El en el currículo de primaria sólo aparece una referencia a las potencias en 5º y 6º centrándose en las de base 10, en donde el exponente indica el número de ceros que se escriben a la derecha del 1. 

¿Qué cosas se trabajan en primaria con estas potencias?

• Potencia como producto de factores iguales. Potencias de base 10.
• Identificar una potencia como un producto de factores iguales.
• Calcular cuadrados, cubos y potencias de 10.

Por ello, considero útil compartir una serie de ejercicios (propuestos por la editorial Anaya) en su libro “Matemática 1s” (J. Colera, I. Gateztelu, 2010)

PORCENTAJES “¿Qué es un porcentaje?”

El concepto de porcentaje se utiliza cotidianamente así que el cálculo de éste es algo que nuestros alumnos deben controlar pero sobre todo entender.

Para empezar propongo la visualización del siguiente vídeo. Pertenece a la Khan Academy, una plataforma online multilingüe sin ánimo de lucro que cuenta con 26 millones de alumnos repartidos por todo el mundo. (Para saber más recomiendo la lectura del artículo : http://tecnologia.elpais.com/tecnologia/2015/08/26/actualidad/1440607240_167958.html)

En el siguiente vídeo se explica de manera clara y visual qué es un porcentaje y cómo se representa:

https://es.khanacademy.org/math/pre-algebra/decimals-pre-alg/percent-intro-pre-alg/v/describing-the-meaning-of-percent

“El porcentaje en el aula”
Como se mencionó antes, los porcentajes están presentes en michas situaciones cotidianas relacionada con las compras, las operaciones bancarias, las estadísticas...Es normal ver titulares en prensa que incluyan porcentajes. Es decir, el porcentaje es un problema de la vida real.  Sin embargo, en Primaria se suele dedicar poco tiempo a los porcentajes en comparación al dedicado a las fracciones o a los decimales, Es más, los porcentajes se suelen tratar en 6º de primaria, una vez que los alumnos ya han trabajado con fracciones y decimales en 4º y 5º. Sin embargo, quizás deberíamos plantearnos tratar estos conceptos conjuntamente.

En una cosa parece haber acuerdo: deberíamos centrarnos en contextos y casos de vida diaria donde están presentes. Es decir, es necesario que los problemas que planteemos en clase sean reales y cercanos a la realidad del alumno. Por ello, a continuación se plantea un problema con el que cualquier alumno y profesor se sentirá cercano e identificado. Primero, una pequeña introducción sobre la terminología que vamos a usar:

A MODO DE INTRODUCCIÓN ANTES DE REALIZAR CUALQUIER PROBLEMA: 

En una escuela el 15% de los alumnos son rubios, el 35% de los alumnos son morenos y el 50% de los alumnos son castaños.

− Que el 15% de los alumnos sean rubios significa que de cada 100 alumnos 15 son rubios.
− 15% es un porcentaje o tanto por ciento y se lee “15 por ciento”
− Los porcentajes pueden expresarse como una fracción decimal de denominador 100.

Los datos indicados de la escuela se pueden expresar así:

PROBLEMA DE LA VIDA REAL:

Una mañana el profesor llega a clase de 6ºA. Los 25 alumnos esperan ansiosos. Nada más entrar el profesor por la puerta le preguntan: « ¿Ha corregido los exámenes? » A lo que el profesor muy serio responde: « Sí, y me temo que sólo ha aprobado un 35% ». Los alumnos se miran a otros. ¿Qué quiere eso decir? ¿Cuántos han suspendido? ¿Cuántos han aprobado?

PROPORCIONALIDAD: "A más...más..."

La proporcionalidad es un concepto que empezaremos a trabajar con nuestros alumnos en sexto de primaria. Es importante que antes de operar con números entiendan qué es la proporcionalidad y qué son dos magnitudes proporcionales:

Cuando pensamos en magnitudes directamente proporcionales es útil recurrir a la geometría, para que nuestros alumnos puedan visualizar de lo que estamos hablando. Es decir, podemos explicar a nuestros alumnos la relación entre: el lado del cuadrado y su área, la longitud de una circunferencia y su radio, el perímetro de un cuadrado y su lado etc.

También es importante que les demos a nuestros alumnos unas pequeñas indicaciones de cómo abordar la resolución de un problema.



José M. Yañez Sinovas (CEIP Vicente Alexaindre de Valladolid), autor de diversos artículos sobre didáctica de las matemáticas, explica que algunas de las situaciones más apropiadas para la utilización del concepto matemático de proporcionalidad son el cálculo de porcentajes, intereses y mapas a escala.

En cualquier caso, no podemos olvidar hacerles ver a nuestros alumnos de que existen diversas formas de resolver una misma situación. Por ello, he considerado útil plantear a continuación una serie de problemas para poder usar en el aula con distintas estrategias para solucionarlos:

PROPORCIONALIDAD DIRECTA:



PROPORCIONALIDAD INVERSA

DECIMALES: “Jugamos con los decimales: la competencia digital y matemática se dan la mano”

El trabajo con los números decimales se puede abordar desde distintos contextos. Por ejemplo, podemos decirle a nuestros alumnos que es una manera de escribir en forma simple cantidades complejas. Asimismo, explicarles que los números naturales resultan insuficientes para expresar ciertas cantidades (por ejemplo, menores que 1). También podemos presentarlos como otra forma de escribir fracciones decimales. O incluso desde el punto de vista de la geometría: como puntos en la recta numérica en los espacios entre los números enteros.

Por otro lado, el uso de las nuevas tecnologías siempre debería fomentarse. No sólo porque es una herramienta atractiva y motivadora para nuestros alumnos sino porque la competencia digital también debe trabajarse en el aula, al lado de otras, como en el tema que nos ocupa, la competencia matemática. 

La red está llena de recursos interesantes, a veces incluso demasiados, con lo que el profesor suele perderse en una marea de propuestas. Por ello, he considerado interesante remitiros a la siguiente dirección del Ministerio de Educación y Ciencia, donde los alumnos aprenderán el concepto de número decimal y a operar con ellos de una manera lúdica:

http://ntic.educacion.es/w3/recursos/primaria/matematicas/decimales/menu.html

Al visitarla, nos encontramos con una página web que nos invita a jugar con los decimales pero además con una guía para que el profesor sepa en todo momento qué se está trabajando y cómo.  Así encontramos diferentes apartados:

Contenidos. En este apartado se enumeran los contenidos que se trabajan en la unidad y se señalan las cuestiones que el estudiante debe aprender.

Actividades. Las actividades de cada unidad además de ser interactivas están animadas y son un primer contacto del estudiante con las cuestiones que va a tratar, relacionadas con la realidad cotidiana de su entorno. Se pretende de este modo aumentar su motivación.

Práctica. Se presentan varios tipos de ejercicios, todos ellos interactivos, con diferentes ejemplos y con la respuesta correcta. El estudiante puede repetir todas las veces que considere necesarias cada ejercicio para acertar en todos los casos las respuestas.

Test: 15 preguntas indican al alumno sus avances. Se trata de que se autoevalue y si tiene problemas puede repetir las actividades que considere oportuno.

Ejercicios para imprimir. Se proponen unos ejercicios para que el alumno los realice sobre papel. Se trata de un entrenamiento para que afiance los conocimientos.

A las actividades se accede pinchando en diferentes casillas, cada una de ellas dedicada a un tema: 

1. Décimas, 2. Centésimas, 3. Milésimas, 4. Décimas, centésimas, milésimas y redondeo, 5. Suma y resta, 6. Multiplicación, 7. División.

Resumimos aquí abajo algunas de ellas: 

• Décimas: juego de la radio (expresar diales con decimales), juego de llenar una jarra con decilitros.
• Centésimas: carrera de salto de vallas (tiempo de carrera en centésimas de segundo), máquina de cambio de monedas (cambiar monedas de dos euros y de un euro en 50, 20 y 10 céntimos).
• Milésimas: comparar la medida de dos personas dadas en metros y milésimas, juego de las parejas (levantar parejas de cartas y encontrar las que son equivalentes: números decimales equivalente a su fracción decimal), 
• Décimas, centésimas, milésimas y redondeo: se simula la venta de un producto practicando el redondeo a la baja, juego de las parejas con números decimales y sus redondeos
• Suma y resta: la panadería (operar con billetes de 5 euros y monedas de 2 y 1 euros, 50, 20 y 10 céntimos), juego de las parejas (con sumas y restas de decimales hasta las centésimas), el algoritmo de la multiplicación (se enseña paso a paso cómo multiplicar decimales, la pastelería (multiplicación con decimales), el algoritmo de la división (se enseña paso a  paso cómo dividir), el juego de las parejas (emparejar la división con su solución correcta).

Por otro lado, existe una zona llamada “Práctica” donde los alumnos podrán, entre otras cosas: Escribir fracciones que corresponden a un área determinada o colorear el área a la que se refiere una fracción

• Realizar operaciones con decimales a través de una calculadora virtual
• Leer números decimales gracias al ábaco.

También se incluye un apartado en el que se ofrecen curiosidades sobre los números decimales que arropan los conocimientos adquiridos y aumentan su significado y se aportan una serie de enlaces a otras páginas web que pueden complementar el tema.

EJERCICIOS CON FRACCIONES

A continuación propongo diferentes ejercicios prácticos para realizar con los alumnos en el aula. La idea es que entiendan el concepto de fracciones, fracciones equivalentes y que operen con ellas:

1) Vamos a practicar el concepto de fracción equivalente a través de los círculos de fracciones (material manipulable elaborado por el profesor):

½ y 3/6 son equivalentes porque:

2/3 y 4/6 son equivalentes porque:

Consejo: es importante que el alumno no sólo visualice sino también manipule el material. Por ejemplo, en este caso podría poner una zona verde sobre la otra y comprobar que representan lo mismo.

2) ¿Cuánto sería ½ +2/3? Pues lo mismo que 3/6 más 4/6, es decir 7/6.

3) Ahora lo calcularemos pero usando canicas (magnitud discreta)

 Calcula cuánto es 1/2 + 2/3

Pasos a realizar :

a)     Colocamos dos grupos con seis  fichas cada uno :

b)     Le pedimos a los alumnos que cogen el número de fichas que correspondería a la mitad del primer grupo : es decir ½ del primer grupo de fichas ¿Cuántas fichas serían ?

3 fichas representan la mitad (1/2) del primer grupo (que es equivalente a 3/6)

c)    Le pedimos a los alumnos que cogen el número de fichas que correspondería a  2/3 del segundo grupo de fichas ¿Cuántas fichas serían ?

d)     Ahora sumamos ½ y 2/3, es decir las fichas del primero con las del segundo :

Nos saldrían 7 fichas. ¿Pero cuántas fichas había inicialmente en cada grupo ? 6. Con lo cual, expresado en forma de fracción el resultado sería 7/6.

FRACCIONES: “El Método Montessori y las fracciones”

La introducción de las fracciones es un tema difícil para los alumnos de primaria. Esto se debe a varias cosas:

•  Conllevan un mayor nivel de abstracción
•  Mediante una misma expresión (la fracción) puedo reflejar conceptos diferentes (parte de un todo, situaciones de medida, situaciones de reparto, etc.)
• La aritmética de las fracciones es más complicada
• Pueden representarse de diferentes maneras (fracción, fracción decimal, expresión decimal y porcentaje).

Como futuros maestros, debemos plantearnos la forma más idónea de abordarlas y hacerlas más accesibles y sobre todo comprensibles a nuestros alumnos. Hay que evitar introducir prematuramente el lenguaje simbólico de las matemáticas. Diferentes autores (Chamorro, Álvarez Icaza) defienden una enseñanza de las matemáticas menos abstractas y más manipulativas. Para ello, el profesor de primaria cuenta hoy en día con diferentes recursos a su disposición:  regletas (para representar fracciones, suma y resta de fracciones con mismo denominador, comparar fracciones etc.), geoplanos ( para representar fracciones como partes iguales de una figura geométrica, representar fracciones equivalentes etc.), tangram (para medir con fracciones la superficie de cada pieza con respecto al tangram del cuadrado, para establecer relaciones entre las piezas), multicubos (para representar fracciones, sumar y restar fracciones, representar fracciones equivalentes y fracciones en tres dimensiones), plegado de papel (para representar fracciones, formar fracciones equivalentes y operar con fracciones).

Por otro lado,  me parece interesante ver qué se hace en otras metodologías, como por ejemplo en el Método Montessori.

Dos de las ideas principales de María Montessori eran:

• “El aprendizaje se hace”, es decir, que el niño aprende a través de lar realización de diferentes actividades
• “El movimiento puede mejorar el conocimiento y el aprendizaje”

Estos dos principios derivaron en la construcción de materiales pedagógicos , manipulados por el niño, y especialmente concebidos para enseñar distintas destrezas (si hablamos de matemáticas: a sumar, a restar, a multiplicar, a dividir y cómo no a entender las fracciones y operar con ellas).

Os dejo un ejemplo de uno de estos materiales. En esta página del libro “Maths Works” (Michael Duffy, 2011) se nos muestran los “Círculos de fracciones”, es decir, círculos que están divididos en partes diferentes  (de 1 a 10) y que ayuda al niño a entender las fracciones con diferentes denominadores y lo que representan (concepto “fracción expresa parte de la unidad”). Además, es un material muy útil para entender la equivalencia entre fracciones y para operar con ellas.